Matematika - Kombinatorika - Zadatak br. 1

Zadatak je zapravo malo iz kombinatorike, malo iz geometrije -

U jednom kvadratu stranice duljine a = 1 nalazi se 9 točaka.

Dokazati da među ovih 9 točaka uvijek postoje 3 koje formiraju trokut površine

A <= 1/8.

Rješenje:

Osnovni vic kod ovog zadatka je shvatiti da - ako je 9 točaka u jednom kvadratu - mora postojati jedna četvrtina toga kvadrata u kojoj su barem 3 točke. Kako god te tri točke stoje u toj četvrtini, trokut sastavljen od njih ne može zauzeti više od polovice toga manjega kvadrata, što nas dovodi do 1/8.

Toliko o zadatku ... Po mome mišljenju, međutim, isto pitanje se postavlja i za daleko manje točaka i prilično sam siguran da bi se ista tvrdnja mogla dokazati i za 5 točaka.

Rješenje tog novog zadatka se može podjeliti na tri dijela - pet točaka mogu ocrtavati jedan 3-kut (+ dvije preostale točke unutar tog trokuta), 4-kut (+ jedna točka unutar tog 4-kuta i jedan 5-kut.

Ukoliko su točke unutar 3-kuta, njegova površina je maksimalno 1/2. Dodamo li još jednu točku, dobijamo 3 trokuta, a 5. točka dijeli jedan od ta tri trokuta na tri dijela. Imamo, dakle, 5 trokuta, čija je ukupna površina 1/2 => jedan od njih mora imati površinu manju od 1/8.

Ukoliko se svih pet točaka nalazi unutar jednog 4-kuta, razmotrimo slučaj kad se 4 točke nalaze u vrhovima kvadrata (to je maksimalna ukupna površina). Te 4 točke čine 4 trokuta, svaki od njih ima površinu od 1/2. Ukoliko dodamo petu točku, ona dijeli 2 od ta 4 trokuta na po tri trokuta (ukoliko je postavimo na jednu od dijagonala, ta točka s krajnjim točkama dijagonale čini trokut površine 0). S dvije bliže točke 4-kuta 5. točka čini trokut (označen s "I" na slici). Po zahtjevu zadatka, površina toga trokuta mora biti > 1/8.

Time su dva druga trokuta u toj četvrtini (označena na slici s "II" i "III" i obadva imaju za jednu stranicu crvenu stranicu) maksimalne ukupne površine < 1/8, iz čega slijedi da je bar jedan od njih površine < 1/16. To su, međutim, polovine površine konačnih trokuta (one se nastavljaju stranicama označenim na slici zelenom bojom, pa prema tome, jedan od tih trokuta mora biti površine < 1/8. Time je tvrdnja dokazana za 4-kut.



Ostaje nam još slučaj s 5-kutom. U tu svrhu postavimo situaciju kao na gornjoj slici - tri točke se poklapaju s tri vrha kvadrata, a preostale dvije točke se nalaze na dvije stranice koje izlaze iz preostalog vrha kvadrata. Zbog jednostavnosti pretpostavimo da su te dvije točke jednako udaljene od toga vrha i da ta udaljenost iznosi "a" (a je između 0 i 1). U tom slučaju površina dva trokuta (jedan sa crvenom, drugi sa zelenom stranicom) je ista i iznosi

A = a (1 - a)/2

i maksimalno je 1/8 za a = 1/2.

Intuicija mi govori da je ovo najpovoljniji mogući slučaj i da je time tvrdnja zapravo dokazana. Vjerojatno valja još tu i tamo ponešto dokazati, ali ono bitno je tu ...


Vjerojatno se nastavlja  ...