Matematika - Aritmetika

Dan je komad papira. Papir možete izrezati na 8 ili na 12 dijelova. Nakon toga svaki od preostalih dijelova ponovno možete izrezati na 8 ili 12 dijelova.

Pitanje:

a) Možete li papir rezati tako da u jednom trenutku imate točno 60 dijelova?
b) Dokažite da je moguće dobiti svaki broj dijelova veći od 60!

Rješenje:

Svakim rezanjem se može dobiti 7 ili 11 novih djelova. Ako krenemo od početnog broja djelova

n = 1

broj djelova koje možemo dobiti možemo izraziti formulom:

a = 11 * x + 7 * y + 1

x i y su cijeli, nenegativni brojevi.

Matematika - Aritmetika

Naći sve moguće kombinacije brojeva x, y i z, za koje je broj

13xy45z

djeljiv sa 792.

Rješenje:

792 se može rastaviti na 792 = 9 * 8 * 11

a za te brojeve znamo slijedeće:

- ako je broj djeljiv s 9, suma njegovih znamenki je isto tako djeljiva s 9

1 + 3 + x + y + 4 + 5 + z = 9 * n
13 + x + y + z = 9 * n
x + y + z = 9 * n - 13

Kako su x, y i z cijeli brojevi između 0 i 9, n može biti 2, 3 ili 4

x + y + z = 5
x + y + z = 14
x + y + z = 23

Što se tiče djeljivost s 8, broj je djeljiv s 8 ukoliko je broj sastavljen od posljednje 3 znamenke sjeljiv s 8, što u našem slučaju ima samo jedno rješenje:

z = 6

Samim tim se i prethodni uvjet reducira na:

x + y = 8
x + y = 17

Što se tiče djeljivosti s 11, tu stvari stoje ovako:

13xy45z = 1 * 1000000 + 3 * 100000 + x * 10000 + y * 1000 + 4 * 100 + 5 * 10 + 6

1*1000000 - 1*999999 + 3*100000 - 3*100001 + x*10000 - x*9999 + y*1000 - y*1001 + 4*100 - 4*99 + 5*10 - 5*11 + 6

Podebljani brojevi su djeljivi s 11, pa da bi cijeli broj bio djeljiv s 11, i ostatak mora biti djeljiv s 11:

1 - 3 + x - y + 4 - 5 + 6 = x - y + 3 | 11

Kako su x i y jednoznamenkasti brojevi (između 0 i 9), imamo ove slučajeve:

x - y - 8 = 0
x - y + 3 = 0
x - y + 12 = 0

a rješenje je moguće samo za:

x = y + 8
x = y - 3

S one dvije jednadžbe od ranije:

x + y = 8
x + y = 17

razlikujemo dva slučaja - parni i neparni. Za parni imamo:

x - y = 8
x + y = 8

i rješenje x = 8; y = 0

Za neparni slučaj imamo:

x = y - 3
x + y = 17

što daje x = 7; y = 10, a to nije rješenje.

Prema tome, jedino rješenje je x = 8; y = 0; z = 6

Provjera 1380456 / 792 = 1743.

Matematika - Kombinatorika - Zadatak br. 1

Zadatak je zapravo malo iz kombinatorike, malo iz geometrije -

U jednom kvadratu stranice duljine a = 1 nalazi se 9 točaka.

Dokazati da među ovih 9 točaka uvijek postoje 3 koje formiraju trokut površine

A <= 1/8.

Rješenje:

Osnovni vic kod ovog zadatka je shvatiti da - ako je 9 točaka u jednom kvadratu - mora postojati jedna četvrtina toga kvadrata u kojoj su barem 3 točke. Kako god te tri točke stoje u toj četvrtini, trokut sastavljen od njih ne može zauzeti više od polovice toga manjega kvadrata, što nas dovodi do 1/8.

Toliko o zadatku ... Po mome mišljenju, međutim, isto pitanje se postavlja i za daleko manje točaka i prilično sam siguran da bi se ista tvrdnja mogla dokazati i za 5 točaka.

Rješenje tog novog zadatka se može podjeliti na tri dijela - pet točaka mogu ocrtavati jedan 3-kut (+ dvije preostale točke unutar tog trokuta), 4-kut (+ jedna točka unutar tog 4-kuta i jedan 5-kut.

Ukoliko su točke unutar 3-kuta, njegova površina je maksimalno 1/2. Dodamo li još jednu točku, dobijamo 3 trokuta, a 5. točka dijeli jedan od ta tri trokuta na tri dijela. Imamo, dakle, 5 trokuta, čija je ukupna površina 1/2 => jedan od njih mora imati površinu manju od 1/8.

Ukoliko se svih pet točaka nalazi unutar jednog 4-kuta, razmotrimo slučaj kad se 4 točke nalaze u vrhovima kvadrata (to je maksimalna ukupna površina). Te 4 točke čine 4 trokuta, svaki od njih ima površinu od 1/2. Ukoliko dodamo petu točku, ona dijeli 2 od ta 4 trokuta na po tri trokuta (ukoliko je postavimo na jednu od dijagonala, ta točka s krajnjim točkama dijagonale čini trokut površine 0). S dvije bliže točke 4-kuta 5. točka čini trokut (označen s "I" na slici). Po zahtjevu zadatka, površina toga trokuta mora biti > 1/8.

Time su dva druga trokuta u toj četvrtini (označena na slici s "II" i "III" i obadva imaju za jednu stranicu crvenu stranicu) maksimalne ukupne površine < 1/8, iz čega slijedi da je bar jedan od njih površine < 1/16. To su, međutim, polovine površine konačnih trokuta (one se nastavljaju stranicama označenim na slici zelenom bojom, pa prema tome, jedan od tih trokuta mora biti površine < 1/8. Time je tvrdnja dokazana za 4-kut.



Ostaje nam još slučaj s 5-kutom. U tu svrhu postavimo situaciju kao na gornjoj slici - tri točke se poklapaju s tri vrha kvadrata, a preostale dvije točke se nalaze na dvije stranice koje izlaze iz preostalog vrha kvadrata. Zbog jednostavnosti pretpostavimo da su te dvije točke jednako udaljene od toga vrha i da ta udaljenost iznosi "a" (a je između 0 i 1). U tom slučaju površina dva trokuta (jedan sa crvenom, drugi sa zelenom stranicom) je ista i iznosi

A = a (1 - a)/2

i maksimalno je 1/8 za a = 1/2.

Intuicija mi govori da je ovo najpovoljniji mogući slučaj i da je time tvrdnja zapravo dokazana. Vjerojatno valja još tu i tamo ponešto dokazati, ali ono bitno je tu ...


Vjerojatno se nastavlja  ...

Matematika - Trigonometrija - Zadatak br. 2

Izračunati vrijednost izraza

A = cos²18° + cos²36° + cos²54° + cos²72°

Matematika - Trigonometrija - Zadatak br. 1

Dokazati osnovnu trigonometrijsku jednadžbu:

sin²α + cos²α = 1