Matematika - Aritmetika

Dan je komad papira. Papir možete izrezati na 8 ili na 12 dijelova. Nakon toga svaki od preostalih dijelova ponovno možete izrezati na 8 ili 12 dijelova.

Pitanje:

a) Možete li papir rezati tako da u jednom trenutku imate točno 60 dijelova?
b) Dokažite da je moguće dobiti svaki broj dijelova veći od 60!

Rješenje:

Svakim rezanjem se može dobiti 7 ili 11 novih djelova. Ako krenemo od početnog broja djelova

n = 1

broj djelova koje možemo dobiti možemo izraziti formulom:

a = 11 * x + 7 * y + 1

x i y su cijeli, nenegativni brojevi.

Matematika - Aritmetika

Naći sve moguće kombinacije brojeva x, y i z, za koje je broj

13xy45z

djeljiv sa 792.

Rješenje:

792 se može rastaviti na 792 = 9 * 8 * 11

a za te brojeve znamo slijedeće:

- ako je broj djeljiv s 9, suma njegovih znamenki je isto tako djeljiva s 9

1 + 3 + x + y + 4 + 5 + z = 9 * n
13 + x + y + z = 9 * n
x + y + z = 9 * n - 13

Kako su x, y i z cijeli brojevi između 0 i 9, n može biti 2, 3 ili 4

x + y + z = 5
x + y + z = 14
x + y + z = 23

Što se tiče djeljivost s 8, broj je djeljiv s 8 ukoliko je broj sastavljen od posljednje 3 znamenke sjeljiv s 8, što u našem slučaju ima samo jedno rješenje:

z = 6

Samim tim se i prethodni uvjet reducira na:

x + y = 8
x + y = 17

Što se tiče djeljivosti s 11, tu stvari stoje ovako:

13xy45z = 1 * 1000000 + 3 * 100000 + x * 10000 + y * 1000 + 4 * 100 + 5 * 10 + 6

1*1000000 - 1*999999 + 3*100000 - 3*100001 + x*10000 - x*9999 + y*1000 - y*1001 + 4*100 - 4*99 + 5*10 - 5*11 + 6

Podebljani brojevi su djeljivi s 11, pa da bi cijeli broj bio djeljiv s 11, i ostatak mora biti djeljiv s 11:

1 - 3 + x - y + 4 - 5 + 6 = x - y + 3 | 11

Kako su x i y jednoznamenkasti brojevi (između 0 i 9), imamo ove slučajeve:

x - y - 8 = 0
x - y + 3 = 0
x - y + 12 = 0

a rješenje je moguće samo za:

x = y + 8
x = y - 3

S one dvije jednadžbe od ranije:

x + y = 8
x + y = 17

razlikujemo dva slučaja - parni i neparni. Za parni imamo:

x - y = 8
x + y = 8

i rješenje x = 8; y = 0

Za neparni slučaj imamo:

x = y - 3
x + y = 17

što daje x = 7; y = 10, a to nije rješenje.

Prema tome, jedino rješenje je x = 8; y = 0; z = 6

Provjera 1380456 / 792 = 1743.